Question

已知函数f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x．
（1）已知f（x）满足下面两个条件，求a的取值范围．
①在（-∞，1]上存在极值，
②对于任意的θ∈R，c∈R直线l：xsinθ+2y+c=0都不是函数y=f（x）（x∈（-1，+∞））图象的切线；
（2）若点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x₂=x₁+x₃，当a＞0时，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）首先求出f（x）的导数：f'（x）=，接下来考虑条件①：（i）当a≥-1时，可得f'（x）＜0，f（x）在R上单调减，与题意不符；（ii）当a＜-1时，可得f'（x）≤0的解集为{x|x≥ln（-a-1）}，讨论f'（x）的符号，得到x=ln（-a-1）是f（x）的极大值点，结合题意得ln（-a-1）＜1，所以a∈（-1-e，-1）．再考虑条件②：找出当a∈（-e-1，-1）时，满足条件②的a的取值范围，通过讨论f′（x）的导数，得到f′（x）在（1，+∞）上单调递减，而f'（1）=-1-，f′（x）在（1，+∞）上无限的趋近于-1，可得f'（x）∈（-1，-1-）．最后根据直线 l 的斜率k=≤且直线 l 不是函数f（x）图象的切线，得到-1-在（1，+∞）上恒成立，即-2a-1≤ex，由此可得a≥．最后综上所述可得a的取值范围是[，-1）．
（2）根据A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），不妨设x1＜x2＜x3，由（1）的讨论得f（x）在R上单调减，f（x1）＞f（x2）＞f（x3），且x2=，由此可用反证法证明A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线．接下来用数量积的坐标运算，结合函数表达式证出＜0，可得△ABC是中B为钝角．若△ABC能是等腰三角形，只能是=，代入所设的数据，并且化简整理，可得=+，最后用基本不等式得到 =，与x1＜x3矛盾，因此可得△ABC不可能为等腰三角形．
【解析】
（1）f'（x）=a•-a-1=，接下来分两步：
㈠、先考虑条件①：
（i）当a+1≥0时，即a≥-1时，可得f'（x）＜0在R上恒成立，故f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，与题意不符．
（ii）当a+1＜0时，即a＜-1时，可得f'（x）≤0的解集为{x|x≥ln（-a-1）}，
此时f（x）在（ln（-a-1），+∞）上单调递减，在（-∞，ln（-a-1））上单调递增，
从而x=ln（-a-1）是f（x）的极大值点，结合题意得ln（-a-1）＜1，a＞-1-e，所以a∈（-1-e，-1）．
㈡、下面找出当a∈（-e-1，-1）时，满足条件②的a的取值范围．
又∵f'（x）==-1-，
设g（x）=-1-，则g'（x）=＜0恒成立，
所以f′（x）在（1，+∞）上单调递减，而f'（1）=-1-，
结合f′（x）在（1，+∞）上连续，当x无限的趋近于+∞时，f′（x）无限的趋近于-1，
可得f'（x）∈（-1，-1-）．
直线 l 的斜率k=，则 ．
∵直线 l 不是函数f（x）图象的切线，
∴-1-在（1，+∞）上恒成立，即-2a-1≤ex在（1，+∞）上恒成立，
由此可得-2a-1≤e，即a≥．
综上所述，a的取值范围是[，-1）．
（2）由（1）知，a＞0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，
∵A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），
∴不妨设x1＜x2＜x3，可得f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=，
下面用反证法说明A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线：
若A、B、C三点共线，则有f（x2）=（f（x1）+f（x3））
所以 2=+≥2，得x1=x3与x1＜x2＜x3矛盾．
接下来说明角B是钝角：=（x1-x2，f（x1）-f（x2）），=（x3-x2，f（x3）-f（x2））
∴=（x1-x2）（x3-x2）+[f（x1）-f（x2）][f（x3）-f（x2）]
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，
∴＜0，可得∠B∈（，π），即△ABC是中B为钝角．
假设△ABC为等腰三角形，只能是 =
即：（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2
∵x2-x1=x3-x2，∴[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2
结合f（x1）＞f（x2）＞f（x3），化简得2f（x2）=f（x1）+f（x3），
也就是2aln（1+）-2（a+1）x2=aln（1+）（1+）-（a+1）（x1+x3）
将2x2=x1+x3代入即得：2aln（1+）-2（a+1）x2=aln（1+）（1+）-2（a+1）x2，
∴2ln（1+）=ln（1+）（1+）⇔（1+）2=（1+）（1+），
可得+2=++⇔=+①
而事实上，若①成立，根据+≥2=2，
必然得到 =，与x1＜x3矛盾．
所以△ABC不可能为等腰三角形．