Question

设函数的定义域为（0，）.

(Ⅰ)求函数在上的最小值；

(Ⅱ)设函数，如果，且，证明：.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 利用导数分析单调性，进而求最值；(Ⅱ)分类讨论函数的单调性

试题解析：(Ⅰ)，则时，；时，。

所以，函数在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数.  2分

当时，函数在[m，m+1]上是增函数,

此时；

当时，函数在[m， 1]上是减函数,在[1，m+1]上是增函数，

此时；                                 6分

(Ⅱ)证明：考察函数， 

所以g(x)在()内是增函数，在()内是减函数.（结论1）

考察函数F(x)=g(x)-g(2-x)，即

于是

当x>1时，2x-2>0,从而(x)>0,

从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。                                           

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x). （结论2）  10分

若，由结论1及，得，与矛盾；

若，由结论1及，得，与矛盾；  12分

若不妨设

由结论2可知，g()>g(2-)，所以>g(2-)。

因为，所以，又由结论1可知函数g(x)在区间（-∞，1）内是增函数，

所以>,即>2.                  15分

考点：导数，函数的单调性，分类讨论.