Question

设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，又当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，则下列五个命题：
①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；
②当x∈[1，3]时，f（x）=（ x-2）³；
③直线x=±1是函数y=f（x）图象的对称轴；
④点（2，0）是函数y=f（x）图象的对称中心；
⑤函数y=f（x）在点（，f（））处的切线方程为3x-y-5=0．
其中正确的是    ．（写出所有正确命题的序号）

Answer

①根据f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；
②设x∈[1，3]，则x-2∈[-1，1]，根据x∈[-1，1]时，f（x）=x3，可得f（x-2）=（ x-2）3，从而可得f（x）=-（ x-2）3；
③∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=-f（x），可得f（x-2）=f（-x），从而直线x=-1是函数y=f（x）图象的对称轴，由于函数为奇函数，所以直线x=1也是函数y=f（x）图象的对称轴；
④根据f（x-2）=-f（x），可得f（x-2）+f（x）=0；
⑤由②知f（x）=-（ x-2）3，求出导函数，从而求出切线斜率与切点的坐标，从而可得切线方程．
【解析】
①，∵f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，∴f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）是以4为周期的周期函数，故①正确；
②，设x∈[1，3]，则x-2∈[-1，1]，∵当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，∴f（x-2）=（ x-2）3，∵f（x-2）=-f（x）
∴-f（x）=（ x-2）3，∴f（x）=-（ x-2）3，故②不正确；
③，∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=-f（x），∴f（x-2）=f（-x），∴直线x=-1是函数y=f（x）图象的对称轴，由于函数为奇函数，所以直线x=1也是函数y=f（x）图象的对称轴，故③正确；
④，∵f（x-2）=-f（x），∴f（x-2）+f（x）=0，∴点（1，0）是函数y=f（x）图象的对称中心，故④不正确；
⑤，由②知f（x）=-（ x-2）3，则f′（x）=-3（ x-2）2，∴f′（）=-3（ -2）2=-，又f（）=
∴函数y=f（x）在点（，f（））处的切线方程为，即3x+4y-5=0，故⑤不正确．
综上知，正确的是①③
故答案为：①③