Question

已知，
（Ⅰ）若函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-1时，求证：x≤e^g（x）-2在成立
（Ⅲ）求f（x）-x的最大值，并证明当n＞2，n∈N^*时，（e为自然对数lnx的底数）

Answer

（Ⅰ）函数，函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，等价于在（0，+∞）上有解，即ax2+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，再利用分离参数法，即可求得a的范围；
（Ⅱ）原不等式即为f（x）＜g（x）-2，构造函数φ（x）=f（x）-g（x）+2，可确定φ（x）单调递增，从而原不等式得证；
（Ⅲ）根据，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，利用导数可知函数m（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，从而可得f（x）-x的最大值为-1，进而可得lnx≤-1+x，再利用放缩法即可证得．
（Ⅰ）【解析】
函数
所以在（0，+∞）上有解，
即ax2+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，由ax2+3x-1＞0得
因为当x＞0，
所以a的范围是…（4分）
（Ⅱ）证明：原不等式即为f（x）＜g（x）-2，构造函数φ（x）=f（x）-g（x）+2
∴∴，
∴对于恒成立，
∴φ（x）单调递增
∴=
∴f（x）＜g（x）-2
∴x≤eg（x）-2在成立，原不等式得证            …（9分）
（Ⅲ）【解析】
∵，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，
∴
所以函数m（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
所以m（x）≤m（1），即f（x）-x的最大值为-1
证明：由m（x）≤m（1）得lnx≤-1+x
∴，
∴=…（14分）