Question

如图，已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x
（1）求f（1），f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式并画出简图；
（3）讨论方程f（x）=k的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）．

Answer

（1）由x≥0时，f（x）=x2-2x，可求出f（1），f（2）的值，进而根据y=f（x）是定义在R上的偶函数，f（-2）=f（2）得到答案；
（2）根据y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x，先求出函数的y=f（x）的解析式（分段函数的形式），进而根据分段函数的图象分段画的原则，结合二次函数的图象可得答案．
（3）根据（2）中函数的图象，即可分析出k取不同值时，方程f（x）=k的根的情况．
【解析】
（1）∵当x≥0时，f（x）=x2-2x
∴f（1）=12-2=-1
f（2）=22-2×2=0
又∵y=f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（-2）=f（2）=0    …..（3分）
（2）当x≤0时，-x≥0 
于是f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x
又∵y=f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（x）=x2+2x（x≤0）
∴f（x）= …..（7分）
其图象如下图所示：

（3）由（2）中函数f（x）的图象可得：
当k＜-1时，方程无实根
当k=-1，或k＞0时，有2个根；
当k=0时，有3个根；
当-1＜k＜0时，有4个根；         …..（14分）