Question

设f（x）=是奇函数（a＞0且a≠1），
（1）求出m的值
（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞1），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明．

Answer

（1）由 题意可得f（-x）=-f（x），代入可求m
（2）利用函数单调性的定义即可证明：设x1，x2∈[α，β]，则1＜x1＜x2，对函数值作差f（x1）-f（x2）=loga结合已知可判断的正负，进而讨论当0＜m＜1时，及m＞1时，f（x1）-f（x2）的符号，即可证明
【解析】
（1）由题意可得f（-x）+f（x）=0   …（1分）  
即
∴=
∴   …（2分）
∴（mx）2-1=x2-1
∴m=±1 
∴m=-1     m=1（舍）  …（4分）
（2）当0＜m＜1时，f（x）为增函数；m＞1时，f（x）为减函数，判断如下
∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（1，+∞）．
设x1，x2∈[α，β]，则1＜x1＜x2
f（x1）-f（x2）=loga
∵（1+x1）（x2-1）-（x1-1）（1+x2）=2（x2-x1）＞0
∴（1+x1）（x2-1）＞（x1-1）（1+x2）即＞1
∴当0＜m＜1时，，即f（x1）＜f（x2）；
当m＞1时，loga＞0，即定义在证明函数f（x1）＞f（x2），
故当0＜m＜1时，f（x）为增函数；m＞1时，f（x）为减函数．                   …（10分）