Question

已知在区间[-1，1]上是增函数
（ I）求实数a的取值范围；
（ II）记实数a的取值范围为集合A，且设关于x的方程的两个非零实根为x₁，x₂．
①求|x₁-x₂|的最大值；
②试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1＞|x₁-x₂|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）先求导函数f'（x），然根据f（x）在[-1，1]上是增函数则f'（x）≥0在x∈[-1，1]恒成立，然后利用二次函数的性质进行解题即可求出a的取值范围；
（II）①先求出集合A，然后根据得x2-ax-2=0，x1，x2是方程x2-ax-2=0的两个非零实根，利用根与系数的关系表示出|x1-x2|，最后根据a的范围可求出|x1-x2|的最大值；
②要使m2+tm+1＞|x1-x2|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立，即m2+tm+1＞3即m2+tm-2＞0对∀t∈[-1，1]恒成立，设 g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），将t看成变量，则g（t）是关于t的一次函数，然后建立不等式，解之即可求出所求m的取值范围．
【解析】
（I）…1分）
∵f（x）在[-1，1]上是增函数
∴f'（x）≥0即x2-ax-2≤0，在x∈[-1，1]恒成立 （1）（3分）
设 φ（x）=x2-ax-2，则由（1）得解得-1≤a≤1
所以，a的取值范围为[-1，1]．…（6分）
（II）①由（I）可知A={a|-1≤a≤1}
由即得x2-ax-2=0
∵△=a2+8＞0∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两个非零实根
∴x1+x2=a，x1x2=-2，又由（1）-1≤a≤1
∴（9分）
∴|x1-x2|的最大值为3．
②要使m2+tm+1＞|x1-x2|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立
即m2+tm+1＞3即m2+tm-2＞0对∀t∈[-1，1]恒成立（2）（11分）
设 g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），
则由（2）得解得m＞2或m＜-2
故存在实数m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）满足题设条件（14分）