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已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1....

已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.
(Ⅰ)由题设条件可知解得,由此能够推导出椭圆C的标准方程. (Ⅱ)由方程组消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,然后结合题设条件利用根的判别式和根与系数的关系求解. 【解析】 (Ⅰ)设椭圆的长半轴为a,半焦距为c, 则解得 ∴椭圆C的标准方程为. (Ⅱ)由方程组消去y, 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0 由题意:△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0 整理得:3+4k2-m2>0 ① 设M(x1,y1)、N(x2,y2), 则, 由已知,AM⊥AN,且椭圆的右顶点为A(2,0) ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0 即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0 也即 整理得:7m2+16mk+4k2=0 解得:m=-2k或,均满足① 当m=-2k时,直线l的方程为y=kx-2k,过定点(2,0),舍去 当时,直线l的方程为,过定点, 故直线l过定点,且定点的坐标为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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