Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+1．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式和前n项和．

Answer

（Ⅰ）由题意只要证明为一常数即可，已知Sn+1=4an+1，推出b1的值，然后继续递推相减，得an+1-2an=2（an-2an-1），从而求出bn与bn-1的关系；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）{bn}是等比数列，可得bn}的通项公式，从而证得数列{}是首项为，公差为的等差数列，
最后利用错位相减法，求出数列{an}的通项公式和前n项和．
【解析】
（Ⅰ）由a1=1，及Sn+1=4an+1，得
a1+a2=4an+1，a2=3a1+1=4，
∴b1=a2-2a1=2，
由Sn+1=4an+1…①
则当n≥2时，有Sn=4an-1+1…②
②-①得an+1=4an-4an-1，∴an+1-2an=2（an-2an-1）
又∵bn=an+1-2an∴bn=2bn-1
∴{bn}是首项b1=2，公比等于2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=2n，∴an+1-2an=2n，
∴，∴数列{}是首项为，公差为的等差数列，
∴=+（n-1）=，an=n•2n-1，
设Sn=1+2•21+3•22+…+（n-1）•2n-2+n•2n-1，
∴2Sn=21+2•22+3•23+…（n-1）•2n-1+n•2n
∴两式相减得，-Sn=1（ 21+22+23+…2 n-1）-n•2n
=1+
∴Sn=（n-1）2n+1．