Question

已知函数f（x）=-x²+ax+b²-b+1，（a，b∈R）对任意实数x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若当x∈[-1，1]时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是（ ）
A．-1＜b＜0
B．b＞2
C．b＞2或b＜-1
D．b＜-1

Answer

先根据条件“对任意实数x都有f（1-x）=f（1+x）成立”得到对称轴，求出a，再研究函数f（x）在[-1，1]上的单调性，求出函数的最小值，使最小值大于零即可．
【解析】
∵对任意实数x都有f（1-x）=f（1+x）成立，
∴函数f（x）的对称轴为x=1=，解得a=2，
∵函数f（x）的对称轴为x=1，开口向下，
∴函数f（x）在[-1，1]上是单调递增函数，
而f（x）＞0恒成立，f（x）min=f（-1）=b2-b-2＞0，
解得b＜-1或b＞2，
故选C