Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3．
（I） 求a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）若对任意正整数n，k≤S_n恒成立，求实数k的最大值．

Answer

（I）利用a1=1，且3an+1+2sn=3（n∈N•），令n=1、2，可求a2，a3的值，n≥2时，3an+2sn-1=3与条件相减，可得数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（II）求出等比数列的和，求出数列和的最小值，即可得到实数k的最大值．
【解析】
（I）∵a1=1，且3an+1+2sn=3（n∈N•）
∴当n=1时，3a2+2a1=3，∴…（2分）
∴当n=2时，3a3+2（a1+a2）=3，∴…（3分）
∵3an+1+2sn=3①
∴当n≥2时，3an+2sn-1=3  ②
由①-②，得3an+1-3an+2an=0…（5分）
∴，
又∵，…（7分）
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
∴                        …（8分）
（II）由（I）知…（9分）
由题意可知，对于任意的正整数n，恒有…（10分）
令f（n）=，则函数为单调增函数，∴当n=1时，f（n）min=1                     …（12分）
∴必有k≤1，即实数k的最大值为1．…（13分）