Question

已知函数，p∈R．
（ I）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（ II） 若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（ III）设函数，求函数g（x）的单调区间．

Answer

（I）当p=2时，函数，f（1）=2-2-2ln1=0，，由此能求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（ II） ．（x＞0）因为f（x）在定义域内是增函数，所以∀x∈（0，+∞），f'（x）≥0，即px2-2x+p≥0恒成立．恒成立，由此能求出正实数p的取值范围．
（ III）由（x＞0），知，由此进行分类讨论，能求出函数g（x）的单调区间．
（本小题共14分）
【解析】
（I）当p=2时，函数，
f（1）=2-2-2ln1=0，
，…（1分）
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．…（2分）
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），
即y=2x-2．…（3分）
（ II） ．（x＞0）…（4分）
因为f（x）在定义域内是增函数，
所以∀x∈（0，+∞），
f'（x）≥0，即px2-2x+p≥0恒成立．…（5分）

即恒成立．…（6分）
而∵x＞0，∴，
∴（当且仅当x=1时取等号），…（7分）
∴，∴P≥1．…（8分）
（ III）（x＞0），
…（9分）
（1）当p=0时，总成立，g（x）的单调递减区间为（0，+∞）…（10分）
当p≠0时，
（2）当p＞0时，递增区间为g（x）的单调递减区间为，…（11分）
（3）当p=-2时，总成立，g（x）的单调递减区间为（0，+∞）…（12分）
（4）当-2＜p＜0时，g（x）的单调递减区间为（0，+∞）…（13分）
（5）当p＜-2时，递增区间为，递减区间为…（14分）