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已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1). (Ⅰ)当a>1时,求...

已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1).
(Ⅰ)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值.
(Ⅰ)先求原函数的导数得:f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna,由于a>1,得到f'(x)>0,从而函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. (Ⅱ)由已知条件得,当a>0,a≠1时,f'(x)=0有唯一解x=0,又函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,等价于方程f(x)=t±1有三个根,从而t-1=(f(x))min=f(0)=1,解得t即得. 【解析】 (Ⅰ)f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna 由于a>1,故当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax-1>0,所以f'(x)>0, 故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增(4分) (Ⅱ)当a>0,a≠1时,因为f'(0)=0,且f'(x)在R上单调递增, 故f'(x)=0有唯一解x=0(6分) 所以x,f'(x),f(x)的变化情况如表所示: 又函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,所以方程f(x)=t±1有三个根, 而t+1>t-1,所以t-1=(f(x))min=f(0)=1,解得t=2(10分).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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