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以F1(0,-1),F2(0,1)为焦点的椭圆C过点. (Ⅰ)求椭圆C的方程; ...

以F1(0,-1),F2(0,1)为焦点的椭圆C过点manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点manfen5.com 满分网的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
(I)椭圆过点P,则由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=,由此可求出椭圆C的方程. (II)解法一:若直线l与x轴重合,则以AB为直径的圆是x2+y2=1;若直线l垂直于x轴时,则以AB为直径的圆是 由,由此可求出点T的坐标. 解法二:如果存在定点T(u,v)满足条件.若直线l垂直于x轴时,则以AB为直径的圆经过点(1,0);若直线l不垂直于x轴时,可设直线l:.由,整理得,然后利用根与系数的关系进行求解. 【解析】 (I)设椭圆方程为(a>b>0),∵椭圆过点P,则由椭圆的定义知 2a=|PF1|+|PF2|= 所以,,b2=a2-c2=1, 椭圆C的方程为. (II)解法一: 若直线l与x轴重合,则以AB为直径的圆是x2+y2=1; 若直线l垂直于x轴时,则以AB为直径的圆是 由解得,所以两圆相切于点(1,0). 因此,如果存在点T满足条件,则该点只能是(1,0) 下面证明T(1,0)就是所求的点. 若直线l垂直于x轴时, 则以AB为直径的圆经过点(1,0); 若直线l不垂直于x轴时,可设直线l: 由,整理得 记A(x1,y1)、B(x2,y2),则 又因为,, 则=(x1-1)(x2-1)+y1y2 == = 所以,TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过定点T(1,0), 故平面上存在一个定点T(1,0)满足题设条件 解法二:(I)由已知c=1,设椭圆方程为. 因为点P在椭圆上,则,解得a2=2, 所以椭圆方程为 (II)如果存在定点T(u,v)满足条件. 若直线l垂直于x轴时, 则以AB为直径的圆经过点(1,0); 若直线l不垂直于x轴时,可设直线l:. 由,整理得 记A(x1,y1)、B(x2,y2),则 ∵又因为,, 则=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v) = = = = 当且仅当恒成立时,以AB为直径的圆恒过点T(u,v).恒成立等价于, 解得u=1,v=0 所以当u=1,v=0时,无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T(1,0). 故平面上存在一个定点T(1,0)满足题目条件.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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