Question

已知函数，x∈[1，+∞），
（1）若，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer

（1）a=时，函数为，f在[1，+∞）上为增函数，故可求得函数f（x）的最小值
（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立，利用分类参数法，通过求函数的最值，从而可确定a的取值范围
【解析】
（1）因为，f（x）在[1，+∞）上为增函数，
所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=．…（6分）
（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．
即a＞-（x+1）2+1在[1，+∞）上恒成立．
 令g（x）=-（x+1）2+1，则g（x）在[1，+∞）上递减，当x=1时，g（x）max=-3，所以a＞-3，
即实数a的取值范围是（-3，+∞）．…（6分）