(1)当时,对函数求导f′(x)=2x3-6x+4=2(x-1)2(x+2),由导数确定函数的单调性,进而可求函数的极值与极值点;
(2)f(x)在(-1,1)上是增函数,则f′(x)=12ax3-4(3a+1)x+4≥0在(-1,1)上恒成立,从而3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上恒成立,可求a的取值范围.
【解析】
(I )a=,f(x)=
对函数求导可得,f′(x)=2x3-6x+4=2(x-1)2(x+2)
当x>-2时,f′(x)>0,函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增
x<2时,f′(x)<0,函数f(x)在(-∞,-2)上单调递减
x=-2是函数的极小值f(-2)=-12,没有极大值
(II)∵f(x)在(-1,1)上是增函数,则f′(x)=12ax3-4(3a+1)x+4≥0在(-1,1)上恒成立
∴3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上恒成立
令g(x)=3ax2+3ax-1
则或或a=0
∴或或a=0
∴