(1)由Sn是nan与na的等差中项,我们易得2Sn=nan+na,进一步得到2Sn-1=nan-1+(n-1)a,由于关系式中即有Sn又有an故可根据an=Sn-Sn-1,将上述公式相减得到数列的递推公式,进一步求出数列的通项公式.
(2)根据已知条件,不难写出数列{bn}的前n项和公式Tn,结合(1)的结论,可构造出一个关于a 的不等式,解不等式,可得满足条件的a的取值范围.
【解析】
(1)由已知得:2Sn=nan+na,
所以当n≥2时2Sn-1=(n-1)an-1+(n-1)a.
两式相减得:2an=nan-(n-1)an-1+a,
整理得:(n-1)an-1=(n-2)an+a.
当n≥3时,上式可化为:
,
于是:.
又,2a1=a1+a⇒a1=a,a2=a+2均满足上式,
故an=2n+a-2(n∈N*)
(2)因为,
所以.
又a10=a+18,所以a10•Tn<12
可化为,
整理得:.
令,
则当n为奇数时,;
当n为偶数时,.
所以,,
故.
故存在常数a,使a10•Tn<12恒成立,
其范围是(-∞,-6).