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设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且acosC+c=b. (1)...

设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且acosC+manfen5.com 满分网c=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,求△ABC的周长l的取值范围.
(1)首先利用正弦定理化边为角,可得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB,然后利用诱导公式及两角和与差的正弦公式化简可得cosA=,进而求出∠A. (2)首先利用正弦定理化边为角,可得l=1+,然后利用诱导公式将sinC转化为sin(A+B),进而由两角和与差的正弦公式化简可得l=1+2sin(B+),从而转化成三角函数求值域问题求解;或者利用余弦定理结合均值不等式求解. 【解析】 (1)∵accosC+c=b, 由正弦定理得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB, 即sinAcosC+sinC=sinB, 又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴sinC=cosAsinC, ∵sinC≠0, ∴, 又∵0<A<π, ∴. (2)由正弦定理得:b==,c=, ∴l=a+b+c =1+(sinB+sinC) =1+(sinB+sin(A+B)) =1+2(sinB+cosB) =1+2sin(B+), ∵A=,∴B,∴B+,∴, 故△ABC的周长l的取值范围为(2,3]. (2)另【解析】 周长l=a+b+c=1+b+c, 由(1)及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, ∴b2+c2=bc+1, ∴(b+c)2=1+3bc≤1+3()2, 解得b+c≤2, 又∵b+c>a=1, ∴l=a+b+c>2, 即△ABC的周长l的取值范围为(2,3].
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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