(1)首先利用正弦定理化边为角,可得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB,然后利用诱导公式及两角和与差的正弦公式化简可得cosA=,进而求出∠A.
(2)首先利用正弦定理化边为角,可得l=1+,然后利用诱导公式将sinC转化为sin(A+B),进而由两角和与差的正弦公式化简可得l=1+2sin(B+),从而转化成三角函数求值域问题求解;或者利用余弦定理结合均值不等式求解.
【解析】
(1)∵accosC+c=b,
由正弦定理得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB,
即sinAcosC+sinC=sinB,
又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴sinC=cosAsinC,
∵sinC≠0,
∴,
又∵0<A<π,
∴.
(2)由正弦定理得:b==,c=,
∴l=a+b+c
=1+(sinB+sinC)
=1+(sinB+sin(A+B))
=1+2(sinB+cosB)
=1+2sin(B+),
∵A=,∴B,∴B+,∴,
故△ABC的周长l的取值范围为(2,3].
(2)另【解析】
周长l=a+b+c=1+b+c,
由(1)及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
∴b2+c2=bc+1,
∴(b+c)2=1+3bc≤1+3()2,
解得b+c≤2,
又∵b+c>a=1,
∴l=a+b+c>2,
即△ABC的周长l的取值范围为(2,3].