Question

已知，当x∈[1，3]时，f（x）的值域为A，且A⊆[n，m]（n＜m）．
（1）若a=1，求m-n的最小值；
（2）若m=16，n=8，求a的值；
（3）若m-n≤1，且A=[n，m]，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用函数的单调性可得f（x）∈[f（1），f（3）]，由，求得m-n的最小值．
（Ⅱ）由题意可得，当m=16时，a≤16x-x2恒成立，a≤（-x2+16x）min =15．当n=8时，a≥8x-x2恒成立，a≥（-x2+8x）max =15，由此求得a的值．
（3）根据 m-n≤1，且A=[n，m]，分、 和三种情况，分别求出a的取值范围，再取并集，即得所求．
【解析】
（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）在区间[1，3]上单调递增，∴f（x）∈[f（1），f（3）]，…（3分）
∴当x∈[1，3]时，，即m-n的最小值是．…（5分）
（Ⅱ）由题意可得，当m=16时，恒成立，即当x∈[1，3]时，a≤16x-x2恒成立，
∴a≤（-x2+16x）min =15．…（7分）
当n=8时，恒成立，即当x∈[1，3]时，a≥8x-x2恒成立，∴a≥（-x2+8x）max =15．…（9分）
综上可得：a=15．…（10分）
（Ⅲ）①若，即0＜a≤1时，在[1，3]单调递增，
∴，a无解．…（11分）
②当，即1＜a＜9时，在递减，在递增，
∴，∴，，．…（13分）
③当，即a≥9时，函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，
∴，a无解；…（14分），
综上可得：．…（16分）