Question

（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=3，求AD的长．

Answer

（1）证明FB=FC，即证∠FBC=∠FCB，利用AD平分∠EAC，四边形AFBC内接于圆，可证得；
（2）先计算得∠ACD=90°，∠DAC=60°，∠D=30°，在Rt△ACB中，求AC的长，在Rt△ACD中，求AD的长．
（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；
∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC=∠FBC； …2′
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC．…5
（2）【解析】
∵AB是圆的直径，∴∠ACD=90°
∵∠EAC=120°，∴∠DAC=60°，∴∠D=30°…7′
在Rt△ACB中，∵BC=3，∠BAC=60°，∴AC=3
又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=3，∴AD=6  …10′