Question

设f（x）=，且f（x）=x有唯一解，f（x₁）=，x_n+1=f（x_n）（n∈N^*）．
（1）求实数a；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）若a_n=-4009，b_n=（n∈N^*），求证：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

Answer

（1）由，得ax（x+2）=x，故ax2+（2a-1）x=0，由此能求出实数a．
（2）由（1）知，f（x）=．由xn+1=f（xn），得，故，由，得，由此能求出数列{xn}的通项公式．
（3）由，知=2n-1，故=1+，由此能够证明b1+b2+…+bn＜n+1．
【解析】
（1）由，得ax（x+2）=x，
∴ax2+（2a-1）x=0，
当且仅当a=时，
f（x）=x有唯一解x=0，∴．
（2）由（1）知，f（x）=．
由xn+1=f（xn），得，
∴，
∴是以为首项，公差为的等差数列，
由，得，
∴，
∴．
∴．
（3）∵，∴=2n-1，
∴=
=
=1+
=1+，
∴b1+b2+…+bn=1+1-+1++1++…+1+
=1+n-＜n+1．