Question

已知函数f（x）对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2，，且当x＞0时，f（x）＞2．
（1）判断f（x）的单调性，并证明；
（2）若f（3）=5，求满足f（a²-2a-2）＜3的实数a的取值范围．

Answer

（1）f（x）在R上单调递增，利用单调性的定义证明．设x1＜x2，x1、x2∈R，则x2-x1＞0，所以f（x2-x1）＞2，从而有f（x2）+f（-x1）＞4，再取x=y=0得：f（0）=2，再取y=-x得：f（-x）=4-f（x），从而可得f（x2）＞f（x1）；（2）由f（3）=5，可得f（1）=3，于是不等式f（a2-2a-2）＜3等价于f（a2-2a-2）＜f（1）．利用f（x）在R上递增，可得a2-2a-2＜1，从而可得满足f（a2-2a-2）＜3的实数a的取值范围．
【解析】
（1）f（x）在R上单调递增
证明：设x1＜x2，x1、x2∈R，则x2-x1＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞2
∴f（x2-x1）＞2
∵f（x+y）=f（x）+f（y）-2
∴f（x2）+f（-x1）-2＞2
∴f（x2）+f（-x1）＞4；
对f（x+y）+2=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=2，
再取y=-x得：f（x）+f（-x）=4，即f（-x）=4-f（x），
∴有f（x2）+4-f（x1）＞4
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在R上递增，
（2）【解析】
f（3）=f（2）+f（1）-2=f（1）+f（1）-2+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3；
于是，不等式f（a2-2a-2）＜3等价于f（a2-2a-2）＜f（1）
∵f（x）在R上递增，
∴a2-2a-2＜1
∴a2-2a-3＜0
∴-1＜a＜3．
∴满足f（a2-2a-2）＜3的实数a的取值范围为（-1，3）