Question

已知、满足，，且、的夹角为60°，设向量与向量的夹角为θ（t∈R）．
（1）若θ=90°，求实数t的值；
（2）若θ∈（90°，180°），求实数t的取值范围．

Answer

（1）利用两个向量的数量积的定义可得=1，当θ=90°时，根据（）•（）=0求出t的值．
（2）若θ∈（90°，180°），则有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1，即  2t2+15t+7＜0，且 ，由此求得实数t的取值范围．
【解析】
（1）由题意可得 =2×1×cos60°=1，当θ=90°时，（）⊥（），
∴（）•（）=2t+（2t2+7）+7t=8t+（2t2+7）+7t=2t2+15t+7=0，
解得 t=-，或t=-7．
（2）若θ∈（90°，180°），则有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1． 
∵||==，
||==，
而cosθ==＜0，
且≠-k•（）
∴2t2+15t+7＜0，且 ．
解得  且t=±，
故实数t的取值范围为{t|，且 }．