Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y²=4x的焦点F交抛物线于A、B两点．
（1）若|AB|=8，求直线l的斜率
（2）若|AF|=m，|BF|=n．求证为定值．

Answer

（1）求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设直线l方程为：y=k（x-1），代入y2=4x得[k（x-1）]2=4x，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求直线l的斜率
（2）由（1）知，|AF|=m=x1+1，|BF|=n=x2+1，表示出．利用韦达定理代入化简即可得出结论．
（1）【解析】
抛物线的焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=-1
设直线l方程为：y=k（x-1），代入y2=4x得[k（x-1）]2=4x，即k2x2-（2k2+4）x+k2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=1
∵|AB|=8，∴x1+x2+2=8
∴，∴k2=1
∴k=1或-1
（2）证明：由（1）知，|AF|=m=x1+1，|BF|=n=x2+1．
∴===
∵，x1x2=1
∴==1
∴