Question

已知数列{an}是首项为a₁=4，公比q≠1的等比数列，S_n是其前项和，且4a₁，a₅，-2a₃成等差数列．
（1）求公比q的值；
（2）设A_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n，求A_n．

Answer

（1）利用4a1，a5，-2a3成等差数列列出等式，利用等比数列的通项公式将等式中的各项利用首项与公比表示，解方程求出公比．
（2）利用等比数列的前n项和公式求出Sn，由于Sn是一个常数列和一个等比数列的和构成的数列，利用分组法求出数列的和An．
【解析】
（1）∵4a1，a5，-2a3成等差数列，
∴2a5=4a1+（-2a3），
∵a5=a1q4，a3=a1q2，
∴2a1q4=4a1-2•a1q2．
∵a1≠0
q4+q2-2=0．
∴q2=1或q2=-2（ 舍去）
∵q≠1，
∴q=-1．
（2）∵．
∴An=S1+S2+S3+…+Sn=[2-2•（-1）1]+[2-2•（-1）2]+[2-2•（-1）3]+…+[2-2•（-1）n]
=2n-2•[（-1）+（-1）2+（-1）3+…+（-1）n]
==2n+1-（-1）n