(Ⅰ)要证EF∥平面PAC,证明EF∥CP即可.
(Ⅱ)要证PE⊥AF,证明AF⊥平面PBC即可.通过PB⊥AF,BC⊥AF可以证出AF⊥平面PBC
(Ⅲ)分别以直线AD、DB、DP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,利用向量方法,求出平面PDE的一个法向量,则直线PA与平面PDE所成角的正弦值等于与此法向量夹角的余弦绝对值.
(Ⅰ)证明:E为BC中点,F是PB中点,∴EF∥CP,CP⊂平面PAC,EF⊄平面PAC,∴EF∥平面PAC;
(Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,AF⊂平面PAB,∴BC⊥AF,
又PA=AB,F是PB中点,∴PB⊥AF,PB∩BC=B,∴AF⊥平面PBC,PE⊂平面PBC,∴PE⊥AF.
(III)分别以直线AD、DB、DP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系
P(0,0,1)D(,0,0)B(0,1,0),E(,1,0)
=(,0,-1)=(-,1,0)
设平面PDE的一个法向量为=(x,y,z)
由得
令x=1得平面PDE和一个法向量=(1,,),||=
又=(0,0,1)AP与平面PDE所成角为θ
所以sinθ===
PA与平面PDE所成角正弦值为.