Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在定义域上是单调函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若b=-1，证明对于任意的n∈N₊，不等式．

Answer

（I）根据题意，求导函数，要使f（x）在（-1，+∞）上为单调函数，只须在（-1，+∞）上f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，分类讨论，分离参数，即可求b的取值范围；
II）b=-1时，f（x）=x2-ln（x+1），构造函数g（x）=f（x）-x3=x2-ln（x+1）-x3，证明g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜x3，即可证得结论．
（I）【解析】
求导函数，可得
要使f（x）在（-1，+∞）上为单调函数，只须在（-1，+∞）上f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，
若2x2+2x+b≥0，∴
在（-1，+∞）上有最大值，∴只须，则f′（x）≥0
若2x2+2x+b≤0，∴
在（-1，+∞）上无最小值，故满足f′（x）≤0的b不存在．
由上得出当时，f（x）在（-1，+∞）上为单调函数．
（II）b=-1时，f（x）=x2-ln（x+1）．
设g（x）=f（x）-x3=x2-ln（x+1）-x3，g′（x）=-
当x≥0时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）上为减函数
∴当x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）=0，∴f（x）＜x3．
令x=∈（0，+∞），则
∴