Question

某位收藏爱好者鉴定一批物品中的每一件时，将正品错误地坚定为赝品的概率为，将赝品错误地坚定为正品的概率为．已知这批物品一共4件，其中正品3件，赝品1件
（1）求该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件，赝品2件的概率；
（2）求该收藏爱好者的鉴定结果中正品数为X的分布列及期望．

Answer

（1）有两种可能得到结果为正品2件，赝品2件其一是错误地把一件正品鉴定成赝品，其他鉴定正确；其二是错误地把两件正品鉴定成赝品，把一件赝品鉴定成正品，其他鉴定正确．由此能求出该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件，赝品2件的概率．
（2）由题设知X的可能取值为0，1，2，3，4．分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X的分布列和期望．
【解析】
（1）有两种可能得到结果为正品2件，赝品2件
其一是错误地把一件正品鉴定成赝品，其他鉴定正确；
其二是错误地把两件正品鉴定成赝品，把一件赝品鉴定成正品，其他鉴定正确．…（3分）
∴…（6分）
（2）由题设知X的可能取值为0，1，2，3，4，
；
；
；
；
，
故X的分布列为

X=i 1 2 3 4
P（X=i）

…（12分）