Question

如图，在三棱锥M-ABC中，AB=2AC=2，，AB=4AN，AB⊥AC，平面MAB⊥平面ABC，S为BC中点
（1）证明：CM⊥SN；
（2）求SN与平面CMN所成角的大小．

Answer

解法一：（1）向量法，取AB中点O，建立空间直角坐标系，用坐标表示点、向量，利用，证明CM⊥SN；
（2）求出平面CMN的法向量、，利用向量的夹角公式，即可求得SN与平面CMN所成角；
解法二：（1）取AB中点O，连接MO、CO、SO，利用平面MAB⊥平面ABC，证明MO⊥平面ABC，从而可证CM⊥SN；
（2）在△MNC中，利用等体积计算S到平面MNC的距离，即可求得SN与平面CMN所成角．

解法一：（1）证明：取AB中点O，由题意，如图建立空间直角坐标系，各点坐标如下：C（-1，1，0）、、、
∴，…（5分）
∴，∴CM⊥SN…（6分）
（2）由题意知，…（8分）
设平面CMN的法向量为，则，∴
平面CMN的法向量为…（10分）
∴，∴SN与平面CMN所成角为…（12分）
解法二：（1）取AB中点O，连接MO、CO、SO
∵MA=MB，∴MO⊥AB
∵平面MAB⊥平面ABC，平面MAB∩平面ABC=AB
∴MO⊥平面ABC…（2分）
∵△NOS和△AOC都是等腰直角三角形
∴CO⊥SN，∴CM⊥SN…（6分）
（2）在△MNC中，，
∴…（10分）
设S到平面MNC的距离为h，SN与平面CMN所成角为θ
∵VM-NSC=VS-NMC
∴S△NSC•MO=S△MNC•h
∴…（11分）
∴
∴SN与平面CMN所成角为…（12分）