Question

已知方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0表示一个圆．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求该圆半径r的取值范围；
（3）求圆心的轨迹方程．

Answer

（1）利用方程表示圆的条件D2+E2-4F＞0，建立不等式，即可求出实数m的取值范围；
（2）利用圆的半径r=，利用配方法结合（1）中实数m的取值范围，即可求出该圆半径r的取值范围；
（3）根据x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0，确定圆的圆心坐标，再消去参数，根据（1）中实数m的取值范围，可求得圆心的轨迹方程．
【解析】
（1）∵方程表示圆，
∴D2+E2-4F=4（m+3）2+4（1-4m2）2-4（16m4+9）=4（-7m2+6m+1）＞0，
∴-7m2+6m+1＞0
∴-＜m＜1．（5分）
（2）r==
∵-＜m＜1
∴0＜r≤．（5分）
（3）设圆心坐标为（x，y），则，
由①得m=x-3，代入②消去m得，y=4（x-3）2-1．
∵-＜m＜1，∴＜x＜4，即轨迹为抛物线的一段，
∴圆心的轨迹方程为y=4（x-3）2-1（＜x＜4）．（5分）