Question

如图，焦距为2的椭圆D的两个顶点分别为A和B，且与共线．
（Ⅰ）求椭圆D的标准方程；
（Ⅱ）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．

Answer

（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，由已知得A（a，0）、B（0，b），故，由与共线，知，由此能求出椭圆E的标准方程．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），把直线方程代入椭圆方程，得，，故，，△=32m2-20（2m2-2）=-8m2+40＞0，故m2＜5．由以PQ为直径的圆经过原点O知，由此能求出实数m的值．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴，
∵与共线，
∴，又a2-b2=1（3分）
∴a2=2，b2=1，
∴椭圆E的标准方程为（5分）
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
把直线方程代入椭圆方程，
消去y，得，，
∴，（7分）
△=32m2-20（2m2-2）=-8m2+40＞0，
∴m2＜5（8分）
∵以PQ为直径的圆经过原点O，
∴，即x1x2+y1y2=0（9分）
又
由x1x2+y1y2=0得，
∴m2=2＜5（11分）
∴（12分）