Question

已知函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若，解关于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）．

Answer

（1）先化简得y=loga，用y表示出x，再交换x，y的位置，即得所求的反函数，原函数的值域即为反函数的定义域；
（2）根据求出a的值，然后根据f-1（x）＜m，讨论m的取值范围可求出不等式的解集．
【解析】
（1）∵f（x）=loga（1+x）-loga（1-x）
∴y=loga
即ay=
∴ay-1=x（ay+1）
即x=∴f-1（x）=（x∈R）；--------------------------（4分）
（2）f-1（1）=
∴=即a=2，
∴f-1（x）=＜m，
∴2x（1-m）＜1+m；--------------------------（6分）
①当m≥1时，不等式解集为x∈R；--------------------------（8分）
②当-1＜m＜1时，得2x＜，不等式的解集为{x|x＜}；------（10分）
③当m≤-1时，x∈φ--------------------------（12分）