Question

已知向量，当x＞0时，定义函数．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）数列{a_n}满足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，
①证明：S_n＜2a；
②当a=1时，证明：．

Answer

由题意得（x＞0），令x=tanα，则，由于，所以，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由，反解x可得，所以原函数的反函数（0＜x＜1）
（2）因为a1=a＞0，an+1=f（an），n∈N*，所以
①利用放缩法．，所以=
②因为an+1=f（an），所以an=f-1（an+1），所以，又由原函数的值域知an+1∈（0，1），所以，则，进而，所以于是可得结论．
【解析】
由题意得（x＞0）
令x=tanα，则
由于，所以，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由y2-2xy+x2=y2+y2x2
于是解得，所以原函数的反函数（0＜x＜1）
（2）证明：因为a1=a＞0，an+1=f（an），n∈N*，所以
∴，所以=
②因为an+1=f（an），所以an=f-1（an+1）
所以，又由原函数的值域知an+1∈（0，1）
所以，则
进而，所以
于是