Question

已知在函数f（x）=mx³-x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=a有三个不同实根，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-2011，对x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由．

Answer

（I）由题意可得，代入可求m，n
（II）由（I）可求f（x），对函数求导，结合导数可判断函数的单调区间进而可求函数的极值，结合函数的性质可求
（III）只须求得y=f（x）在[-1，3]上的最大值，由（II）中的极值域区间端点的函数值进行比较即可，从而可求k的范围
【解析】
（I）f'（x）=3mx2-1…（2分）
由题意可得
∴
∴（2分）
（II）f（x）=，f′（x）=2x2-1
由f′（x）=2x2-1＞0可得x＞或x
由f′（x）=2x2-1＜0可得-
∴函数f（x）在（-∞，-），（，+∞）单调递增，在（）单调递减（2分）
∴
（2分）
依题意  
（III）只须求得y=f（x）在[-1，3]上的最大值
由（II）可得，，＜…（1分）
∴函数在[-1，3]上的最大值f（3）=15
∴k-2011≥15
∴k≥2026…（1分）
∴kmin=2026…（1分）