(1)由首项a1,公差d的值,利用等差数列的求和公式分别表示出Sk2与Sk,代入Sk2=(Sk)2中化简后,得到关于k的方程,根据k为正整数,求出方程的解即可得到满足题意k的值;
(2)设无穷等差数列{an}的公差为d,取k=1和k=2,根据Sk2=(Sk)2列出方程组,利用等差数列的通项公式及求和公式变形后,得到关于a1与d的方程组,分别记作①和②,由①解得a1的值为0或1,分两种情况考虑:(i)当a1=0时,代入②求出d的值为0或6,经检验得到d=6不合题意,舍去,故d=0满足题意;当a1=1时,代入②求出d的值为0或2,经检验都满足题意,综上,得到所有满足题意的无穷等差数列.
【解析】
(1)∵首项a1=,公差d=1.
∴Sn=na1+d=+=n2+n,
由Sk2=(Sk)2得:(k2)2+k2=(k2+k)2,
即k4-k3=0,
∵k是正整数,∴k=4;…(5分)
(Ⅱ)设无穷等差数列{an}的公差为d,
则在Sk2=(Sk)2中分别取k=1,和k=2得:
,即,
由①得:a1=0或a1=1,
(i)当a1=0时,代入②得:d=0或d=6,
若a1=0,d=0,则本题成立;
若a1=0,d=6,则an=6(n-1),
由S3=18,(S3)2=324,S9=216知:S9≠(S3)2,故所得数列不符合题意;
(ii)当a1=1时,代入②得4+6d=(2+d)2,解得:d=0或d=2,
若a=1,d=0则an=1,Sn=n,从而Sk2=(Sk)2成立;
若a1=1,d=2,则an=2n-1,Sn=n2,从而Sk2=(Sk)2成立,
综上所述,只有3个满足条件的无穷等差数列,分别为an=0或an=1或an=2n-1.
故答案为:(1)4;(2)an=0或an=1或an=2n-1