Question

已知函数f（x）=2lnx，g（x）=ax²+3x．
（1）设直线x=1与曲线y=f（x）和y=g（x）分别相交于点P、Q，且曲线y=f（x）和y=g（x）在点P、Q处的切线平行，若方程f（x²+1）+g（x）=3x+k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；
（2）设函数F（x）满足F（x）+x[f′（x）-g′（x）]=-3x²-（a+6）x+1．其中f′（x），g′（x）分别是函数f（x）与g（x）的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈（0，1]时，F（x）取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）易求出P（1，0），曲线y=f（x）在点P处的切线斜率为f′（1）=2，同样地y=g（x）在点Q处的切线斜率为g′（1）=a+3=f′（1），所以a=-1．将方程f（x2+1）+g（x）=3x+k化为ln（x2+1）-x2=k．y1=ln（x2+1）-x2，利用导数工具得出其单调性，k的取值应使得y1的图象与直线y=k有四个不同的交点．
（2）F（x）=（a-3）x2-（a+3）x-1．结合二次函数的性质求解．
【解析】
（1）f′（1）=2，且P（1，0），∴f（x）在P点处的切线方程为y=2（x-1），
即2x-y-2=0…（2分）
又g′（1）=a+3，∴a=-1．…（3分）
故g（x）=-x2+3x，则方程f（x2+1）+g（x）=3x+k可化为
ln（x2+1）-x2=k．令y1=ln（x2+1）-x2，则y1′=-x=-
令y1′=0得x=-1，0，1．因此y1′及y的变化情况如下表：

x （-∞，-1） -1 （-1，0） （0，1） 1 （1，+∞）
y1′ + - + -
y 单调递增 极大值ln2- 单调递减 极小值0 单调递增 极大值ln2
-1 单调递减

所以（y1）极大值=ln2-，（y1）极小值=0．…（6分）
又∵方程有四个不同实数根，函数y=ln（x2+1）-x2为偶函数，且当x2+1=e3（x=＞1）时，ln（x2+1）-x2=3-（e3-1）=-e3＜0=（y1）极小值，所以0＜k＜ln2-．…（8分）
（2）∵F（x）+x[f′（x）-g′（x）]=-3x2-（a+6）x+1．
∴F（x）=（a-3）x2-（a+3）x-1．…（9分）
①当a=3时，F（x）=-6x-1在（0，1]上是减函数，可知F（x）取不到最大值．
②当a＜3时，F（x）的对称轴为x=，若x∈（0，1]时，F（x）取得最大值．则＞0解得a＜-3或a＞3，从而a＜-3．
③当a＞3时，若x∈（0，1]时，F（x）取得最大值，则＜时，此时a∈∅．
综上所述，存在实数a∈（-∞，-3），使得当x∈（0，1]时，F（x）取得最大值．…（13分）