Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁与F₂，直线y=x-1过椭圆的一个焦点F₂且与椭圆交于P、Q两点，若△F₁PQ的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C经过伸缩变换变成曲线C'，直线l：y=kx+m与曲线C'相切且与椭圆C交于不同的两点A、B，若，且，求△OAB面积的取值范围．（O为坐标原点）

Answer

（1）根据直线与x轴交点求得c，进而根据椭圆的定义求得|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，根据△F1PQ的周长求得a，则b可求得，进而求得椭圆的方程．
（2）根据题意可求得曲线C'的方程，整理得圆的方程，根据直线l与圆相切求得原点到直线的距离进而求得k和m的关系式，与椭圆方程联立设A（x1，y1），B（x2，y2）根据判别式求得k的范围，依据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而根据直线方程表示出y1y2，进而根据m2=1+k2求得x1+x2和x1x2关于k的表达式，进而求得的表达式，根据λ的范围确定k的范围，根据弦长公式表示出|AB|，根据k的范围确定|AB|的范围，进而利用|AB|表示出△OAB面积求得△OAB面积的取值范围．
【解析】
（1）依题意y=x-1与x轴交于点F2（1，0）
即c=1．
又|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a
所以|PF1|+|PQ|+|QF1|=|PF1|+|PF2|+|QF2|+|QF1|=4a∴，∴b2=a2-c2=1
所以椭圆C的方程为
（2）依题意曲线C'的方程为
即圆x'2+y'2=1．
因为直线l：y=kx+m与曲线C'相切，
所以，
即m2=k2+1．
由
得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以△＞0，即k2＞0，
所以k≠0．
所以
所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
又m2=1+k2
所以
所以
又
所以，
所以
又
设u=k4+k2
因为，所以
在上为递增函数，
所以
又O到AB的距离为1，
所以
即△OAB的面积的取值范围为