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高中数学试题
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设△ABC的外心为O,重心为G,取点H,使.求证: (Ⅰ)点H为△ABC的垂心;...
设△ABC的外心为O,重心为G,取点H,使
.求证:
(Ⅰ)点H为△ABC的垂心;
(Ⅱ)△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一条直线上.
(Ⅰ)根据O为△ABC的外心,可得,利用向量的加减法,向量的数量积,可证AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB,从而问题得证; (Ⅱ)延长AG交BC于D,则D为BC中点,根据G为△ABC之重心,证明,即可得O,G,H三点共线. 证明:(Ⅰ)∵O为△ABC的外心,∴, ∵,∴, ∴ ∴,即AH⊥BC, 同理BH⊥AC,CH⊥AB, ∴H为△ABC的垂心; (Ⅱ)延长AG交BC于D,则D为BC中点,∴, ∵G为△ABC之重心,∴ ∵, ∴,∴, ∴O,G,H三点共线.
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考点分析:
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|+|
|⇔
与
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|+|
|>|
-
|⇔
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