Question

设△ABC的外心为O，重心为G，取点H，使．求证：
（Ⅰ）点H为△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一条直线上．

Answer

（Ⅰ）根据O为△ABC的外心，可得，利用向量的加减法，向量的数量积，可证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，从而问题得证；
（Ⅱ）延长AG交BC于D，则D为BC中点，根据G为△ABC之重心，证明，即可得O，G，H三点共线．
证明：（Ⅰ）∵O为△ABC的外心，∴，
∵，∴，
∴
∴，即AH⊥BC，
同理BH⊥AC，CH⊥AB，
∴H为△ABC的垂心；
（Ⅱ）延长AG交BC于D，则D为BC中点，∴，
∵G为△ABC之重心，∴
∵，
∴，∴，
∴O，G，H三点共线．