Question

下图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形．这些三角形中的着色与未着色的三角形的个数具有一定的规律．按图（1）、（2）、（3）、（4）四个三角形的规律继续构建三角形，设第n个三角形中包含f（n）个未着色三角形．

（Ⅰ）求出f（5）的值；
（Ⅱ）写出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并由此求出f（n）的表达式；
（Ⅲ）设，数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：．

Answer

（Ⅰ）由图知f（1）=0，f（2）=1，f（3）=4，f（4）=13，从而可得f（5）的值；
（Ⅱ）方法1：由f（2）-f（1）=1，f（3）-f（2）=3，f（4）-f（3）=9，f（5）-f（4）=27，归纳得：f（n+1）-f（n）=3n-1（n∈N*），利用叠加法，可求f（n）的表达式；
方法2：f（2）=3f（1）+1，f（3）=3f（2）+1，f（4）=3f（3）+1，f（5）=3f（4）+1，归纳得：f（n+1）=3f（n）+1（n∈N*），从而可证数列是首项为，公比为3的等比数列，即可求f（n）的表达式；
（Ⅲ）由，得，进而可求数列{an}的前n项和为Sn，由此可证结论成立．
【解析】
（Ⅰ）由图知f（1）=0，f（2）=1，f（3）=1+3=4，f（4）=1+3+9=13，f（5）=1+3+9+27=40
（Ⅱ）方法1：由f（2）-f（1）=1，f（3）-f（2）=3，f（4）-f（3）=9，f（5）-f（4）=27
归纳得：f（n+1）-f（n）=3n-1（n∈N*）∴f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（n）-f（n-1）]=，
方法2：f（2）=3f（1）+1，f（3）=3f（2）+1，f（4）=3f（3）+1，f（5）=3f（4）+1
归纳得：f（n+1）=3f（n）+1（n∈N*）
由f（n+1）=3f（n）+1，可得
∴数列是首项为，公比为3的等比数列
∴，即
（Ⅲ）由，得
∴．
∵3n+1≥9，∴，
∴．