Question

已知奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足：f'（1）=0，．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直；
（Ⅲ）若对于任意实数α和β，不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，求m的最小值．

Answer

（Ⅰ）根据f（x）为奇函数，可得b=d=0，求导函数，利用f'（1）=0，，即可求得函数解析式；
（Ⅱ）设任意两数x1，x2∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，求出这两点的切线的斜率，证明斜率之积k1k2≠-1即可；
（Ⅲ）|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，等价于|f（x）|max-|f（x）|min≤m，由于-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，只需求出在[-2，2]上的最值，即可求得m的最小值．
（Ⅰ）【解析】
因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），所以b=d=0，
所以f（x）=ax3+cx，求导函数，可得f′（x）=3ax2+c
由f'（1）=0，得3a+c=0，由，得
解之得：
从而，函数解析式为：
（Ⅱ）证明：由于f'（x）=x2-1，设任意两数x1，x2∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是：
又因为-1≤x1≤1，-1≤x2≤1，所以k1≤0，k2≤0，得：k1k2≥0，知k1k2≠-1
故当x∈[-1，1]时，函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直
（Ⅲ）【解析】
|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，等价于|f（x）|max-|f（x）|min≤m
由于-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，∴只需求出在[-2，2]上的最值
而f'（x）=x2-1，由f'（x）=0解得x=±1
列表如下：

x -2 （-2，-1） -1 （-1，1） 1 （1，2） 2
f'（x） + - +
f（x） 递增 递减 递增

∴，
∴，
∴m的最小值为．