Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AM•MB=DF•DA．

Answer

（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；
（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AM•MB，再利用切割线定理得到DC2=DF•DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．
证明：（1）连接OC，∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AD．…（3分）
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…（5分）
（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．
又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．
∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC
∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，
∴AM•MB=DF•DA…（10分）