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设奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,则不等式x[f(x)-...

设奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为( )
A.{x|-1<x<0,或>1}
B.{x|x<-1,或0<x<1}
C.{x|x<-1,或x>1}
D.{x|-1<x<0,或0<x<1}
本题考查的是函数的奇偶性和单调性以及解不等式的综合类问题.在解答时,首先要结合奇偶性和单调性对不等式进行转化变形,将问题转化为解不等式:2xf(x)<0, 然后再分类讨论即可获得问题的解答. 【解析】 ∵函数f(x)是奇函数,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴它在(-∞,0)上也是增函数.∵f(-x)=-f(x), ∴f(-1)=f(1)=0. 不等式x[f(x)-f(-x)]<0可化为2xf(x)<0, 即xf(x)<0, ∴当x<0时, 可得f(x)>0=f(-1),∴x>-1, ∴-1<x<0; 当x>0时,可得f(x)<0=f(1), ∴x<1,∴0<x<1. 综上,不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为{x|-1<x0,或0<x<1}. 故选D.
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