Question

证明下面两个命题：
（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；
（2）余弦定理：如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则a²=b²+c²-2bccosA．

Answer

（1）（法一）：设长方形的长，宽分别为a，b，由题设a+b为常数，结合基本不等式可证
 （法二）：设长方形的周长为l，长为x，则宽为，从而可表示长方形的面积S=x=，利用二次函数的性质可证
（2）（法一）：根据向量的数量积的性质可知，= （），整理即可
法二：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），而=（bcosA-c）2+（bsinA）2即可
法三：过AB边上的高CD，则由勾股定理可得a2=BC2=CD2+BD2=（bsinA）2+（c-acosA）2，可证
证明一：（1）设长方形的长，宽分别为a，b，由题设a+b为常数（1分）
由基本不等式：，可得：，（4分）
当且仅当a=b时，等号成立，（1分）
即当且仅当长方形为正方形时，面积ab取得最大值．  （1分）
证明二：（1）设长方形的周长为l，长为x，则宽为           （1分）
于是，长方形的面积S=x=，（4分）
所以，当且仅x=时，面积最大为，此时，长方形的，即为正方形（2分）
（2）证法一：=   （4分）
= 
=
=b2+c2-2bccosA．
故，a2=b2+c2-2bccosA．（4分）
证法二  已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c
以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，
则C（bcosA，bsinA），B（c，0），（4分）
=（bcosA-c）2+（bsinA）2
a2=b2+c2-2bccosA．（4分）．
故，a2=b2+c2-2bccosA．（4分）．
证法三  过AB边上的高CD，则a2=BC2=CD2+BD2
=（bsinA）2+（c-acosA）2
∴a2=b2+c2-2bccosA．
故a2=b2+c2-2bccosA．（4分）