Question

如图，正整数数列，假设第n行的第一个数为
（1）由前三行数的排列规律依次写出第五行的所有数字；
（2）求出a_n的通项公式并求第n行所有数的和S_n．

Answer

（1）由前三行数的排列规律可得第n行有2n个数，故前4行的数字总数为20，且这20个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列，由此可得第5行的各数．
（2）由于前n-1行中，所有数字的个数为 2+4+6+…+2（n-1）=n2-n，故an的通项公为 an =n2-n+1，由此利用等差数列的求和公式求得n行所有数的和Sn 的值．
【解析】
（1）由前三行数的排列规律可得第n行有2n个数，故前4行的数字总数为2+4+6+8=20，
且这20个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列．
故第5行的开头第一个数为21，共有10个，故第五行的所有数字为
21、22、23、24、25、26、27、28、29、30．
（2）由于前n-1行中，所有数字的个数为 2+4+6+…+2（n-1）=n（n-1）=n2-n，
故 an的通项公为 an =n2-n+1．
故第n行所有数的和Sn =2n（ n2-n+1）+=2n3+n．