Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

（Ⅰ）要证DE∥平面PFB，只需证明DE平行平面PFB内的直线FB，说明DE不在平面PFB内，即可．
（Ⅱ）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PD=a，求出平面ABCD的一个法向量为，平面PFB的一个法向量为=（x，y，z），利用，以及已知二面角P-BF-C的余弦值为，求出a，然后求四棱锥P-ABCD的体积．
【解析】
（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，
所以，所以，BEDF为平行四边形，（2分）
得ED∥FB，（3分）
又因为FB⊂平面PFB，且ED⊄平面PFB，（4分）
所以DE∥平面PFB．（5分）

（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分
别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PD=a，
可得如下点的坐标：
P（0，0，a），F（1，0，0），B（2，2，0）
则有：，（6分）
因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的
一个法向量为=（0，0，1），（.7分）
设平面PFB的一个法向量为=（x，y，z），
则可得即
令x=1，得，所以．（9分）
由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，
所以得：，（10分）
解得a=2．（11分）
因为PD是四棱锥P-ABCD的高，
所以，其体积为．（13分）