Question

设等差数列{a_n}的各项均为整数，其公差d≠0，a₅=6，若（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，则n₁的值为    ．

Answer

先由成等比数列，求得d与n1的关系，再由d与n1都是整数求解．
【解析】
设等差数列的公差为d，则a3=a5-2d=6-2d，an1=a5+（n1-5）d=6+（n1-5）d．
成等比数列，
∴a52=a3an1
化简即（6n1-42）d-2（n1-5）d2=0
∵d≠0所以有 3n1-21=（n1-5）d   （1）
显然d=3不能使等式成立
∴由（1）式可以解出：n1=（21-5d）/（3-d）
因为n1＞5，n1为整数，因此n1≥6，即（21-5d）/（3-d）≥6   （2）
在（2）中，若d＞3，则 21-5d≤6（3-d）=18-6d，由此得到d≤-3，与d＞3矛盾．
因此只能有d＜3，
当d=2时n1=11，满足条件．
故答案是11．