Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D、E分别为BC、B₁C的中点．
（1）求证：DE∥平面ABB₁A₁；
（2）求证：平面ADE⊥平面B₁BC．

Answer

（1）利用三角形的中位线的性质证明线面平行．
（2）利用直三棱柱的性质证明BB1⊥AD，利用等腰三角形的性质证明AD⊥BC，从而证明AD⊥平面B1BC．
证明：（1）在△CBB1中，
∵D、E分别为BC、B1C的中点，
∴DE∥BB1（4分）
又∵BB1⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1
∴所以DE∥平面ABB1A1．  （7分）
（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1，BB1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，
∴BB1⊥AD     （9分）
∵在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC   （11分）
∵BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面B1BC，
∴AD⊥平面B1BC．
又∵AD⊂平面ADE
∴平面ADE⊥平面B1BC．   （14分）