Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，S_n=na_n-n（n-1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：a_n=+++…+，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）令c_n=（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）由题意已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=nan-n（n-1），已知前n项和求通项；
（II）在（I）中求出数列an的通项，利用列项相消法求解即可．
（III）利用（I）（II）得出cn===3n2+n，再利用正整数的平方和公式及等差数列的求和公式求解即得．
【解析】
（I）n≥2时，Sn=nan-n（n-1），
∴Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2），
两式相减得an=nan-（n-1）an-1-2（n-1），则（n-1）an=（n-1）an-1+2（n-1），
∴an=an-1+2
∴{an}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴an=2n；
（II）∵an=+++…+，
∴an-1=+++…+，
∴当n≥2时，有an-an-1=，
由（I）得an-an-1=2，
∴bn=2（3n+1），
而当n=1时，也成立，
∴数列{bn}的通项公式bn=2（3n+1）（n∈N*），
（III）cn===3n2+n，
∴数列{cn}的前n项和Tn=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）
=3×n（n+1）（2n+1）+n（n+1）
=n（n+1）（4n+5）．