Question

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x²+y²-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|•|PB|=|PC|²．
（1）求双曲线G的渐近线的方程；
（2）求双曲线G的方程；
（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴、如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB，若P（x，y）（y＞0）为椭圆上一点，求当△ABP的面积最大时点P的坐标．

Answer

（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得=，由此能求出双曲线G的渐近线的方程．
（2）设双曲线G的方程为x2-4y2=m，把直线l的方程y=（x+4）代入双曲线方程，得3x2-8x-16-4m=0，则xA+xB=，xAxB=-．由|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，知4（xA+xB）+xAxB+32=0．由此能求出双曲线的方程．
（3）设椭圆S的方程为+=1（a＞2），设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x，y），则+=1，=1，两式作差得+=0．由此入手能够求出P点的坐标．
【解析】
（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，
则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得=，
所以k=±，即双曲线G的渐近线的方程为y=±x．  （3分）
（2）由（1）可设双曲线G的方程为x2-4y2=m，
把直线l的方程y=（x+4）代入双曲线方程，
整理得3x2-8x-16-4m=0，
则xA+xB=，xAxB=-．（*）
∵|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）2，即（xB+4）（-4-xA）=16，
整理得4（xA+xB）+xAxB+32=0．将（*）代入上式得m=28，
∴双曲线的方程为-=1．               （7分）
（3）由题可设椭圆S的方程为+=1（a＞2），
设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x，y），
则+=1，=1，
两式作差得+=0，
由于=-4，x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以-=0，
所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线-=0截在椭圆S内的部分．
又由已知，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以=，即a2=56，
故椭圆S的方程为+=1（12分）
由题意知满足条件的P点必为平行于AB且与椭圆相切的直线m在椭圆上的切点，
易得切线m的方程为y=，解得切点坐标x=，y=，
则P点的坐标为（）．（14分）