Question

AB是过抛物线y²=4x焦点的一条弦，已知AB=20，则直线AB的方程为    ．

Answer

由y2=4x，准线x=-=-1，焦点（1，0），设y=k（x-1），代入y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，由AB=AF+BF，抛物线到焦点距离等于到准线距离，知x1+x2==18，由此能求出直线方程．
【解析】
∵y2=4x，∴2p=4，
所以准线x=-=-1，焦点（1，0），
若直线斜率不存在，则AB是x=1，y2=4，则显然AB=20不成立，
所以斜率存在．设y=k（x-1），代入y2=4x，
得k2x2-2k2x+k2=4x，
即k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，
又AB=AF+BF，抛物线到焦点距离等于到准线距离，
则A到准线距离=x1-（-1）=x1+1，B到准线距离=x2+1，
所以x1+1+x2+1=AF+BF=20，
∴x1+x2==18，
解得k=±，所以所求的直线方程为x+2y-1=0，或x-2y+1=0．